九江學院2020年專升本《高等數(shù)學Ⅰ》考試大綱

第一部分：總要求

考生應按本大綱的要求，了解或理解“高等數(shù)學”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、多元函數(shù)微積分學、無窮級數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯(lián)系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。

第二部分：考試內容

一、函數(shù)、極限與連續(xù)

（一）函數(shù)

 1．知識范圍

（1）函數(shù)的概念：函數(shù)的定義、函數(shù)的表示法、分段函數(shù)、隱函數(shù)。

（2）函數(shù)的簡單性質：單調性、奇偶性、有界性、周期性。

（3）反函數(shù)：反函數(shù)的定義，反函數(shù)的圖象。

（4）函數(shù)的四則運算與復合運算。

（5）基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。

（6）初等函數(shù)。

2. 要求

（1）理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達式及函數(shù)值。了解分段函數(shù)的概念。

（2）理解函數(shù)的單調性、奇偶性、有界性和周期性。

（3）了解函數(shù)y=?（x）與其反函數(shù)y=?-1（x）之間的關系（定義域、值域、圖象），會求單調函數(shù)的反函數(shù)。

（4）理解和掌握函數(shù)的四則運算與復合運算。

（5）掌握基本初等函數(shù)的簡單性質及其圖象。

（6）了解初等函數(shù)的概念。

（7）會建立簡單實際問題的函數(shù)關系。

（二）極限

 1．知識范圍

（1）數(shù)列極限的概念：數(shù)列，數(shù)列的極限。

（2）數(shù)列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數(shù)列的極限存在定理。

（3）函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關系，x趨于無窮（x→∞，x→+∞，x→-∞）時函數(shù)的極限。

（4）函數(shù)極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理。

（5）無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關系，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較。

（6）兩個重要極限。

 2．要求

（1）了解極限的概念，能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢。了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。

（2）熟練掌握用極限的四則運算法則求極限的方法，理解極限的有關性質。

（3）了解無窮小量、無窮大量的概念，了解無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。了解無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等階）。

（4）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

（三）連續(xù)

1．知識范圍

（1）函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，函數(shù)的間斷點。

（2）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質：連續(xù)函數(shù)的四則運算，復合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性。

（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點定理）。

2．要求

（1）理解函數(shù)在一點連續(xù)與間斷的概念，會判斷簡單函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點連續(xù)與極限存在的關系。

（2）會求函數(shù)的間斷點（含分段函數(shù)）。

（3）理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質，會運用介值定理（包括零點定理）推證一些簡單命題。

（4）了解連續(xù)函數(shù)的性質及初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性。會利用連續(xù)性求極限。

二、一元函數(shù)微分學

（一）導數(shù)與微分

1．知識范圍

（1）導數(shù)概念：導數(shù)的定義、導數(shù)的幾何意義、可導與連續(xù)的關系。

（2）求導法則與導數(shù)的基本公式：導數(shù)的四則運算、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。

（3）求導方法：復合函數(shù)的求導法、隱函數(shù)的求導法、對數(shù)求導法。

（4）高階導數(shù)的概念：高階導數(shù)的定義，高階導數(shù)的計算。

（5）微分：微分的定義，微分與導數(shù)的關系，微分法則，一階微分形式不變性。

2．要求

（1）理解導數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系。掌握用定義求函數(shù)在一點處導數(shù)的方法。

（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

（3）熟練掌握導數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復合函數(shù)求導法則。會求反函數(shù)的導數(shù)。

（4）掌握隱函數(shù)求導法、對數(shù)求導法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導方法，會求分段函數(shù)的導數(shù)。

（5）了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù)。

（6）理解函數(shù)的微分概念，了解可微與可導的關系，會求函數(shù)的一階微分。

（二）微分中值定理及導數(shù)的應用

1．知識范圍

（1）中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（）中值定理。

（2）洛必達（L’Hospital）法則。

（3）函數(shù)增減性的判定法。

（4）函數(shù)極值與極值點，最大值與最小值。

（5）曲線的凹凸性、拐點。

（6）曲線的漸近線。

（7）曲率。

（8）簡單的函數(shù)圖形。

2．要求

（1）理解解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義，會用拉格朗日中值定理證明某些簡單的不等式或恒等式。了解柯西中值定理。

（2）熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的極限方法。

（3）掌握利用導數(shù)判定函數(shù)的單調性及求函數(shù)的單調區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式。

（4）理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（?。┲档姆椒?，并且會解簡單的應用問題。

（5）會用導數(shù)判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。

（6）會求曲線的漸近線。

（7）了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

（8）會作出簡單的函數(shù)圖形。

三、一元函數(shù)積分學

（一）不定積分

1．知識范圍

（1）不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義，原函數(shù)存在定理，不定積分的性質。

（2）基本初等函數(shù)的積分公式。

（3）換元積分法：第一換元法（湊微分法），第二換元法。

（4）分部積分法。

（5）一些簡單有理函數(shù)的積分。

2．要求

（1）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關系，掌握不定積分性質，了解原函數(shù)存在定理。

（2）掌握基本初等函數(shù)的不定積分公式。

（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）。

（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。

（5）會求簡單有理函數(shù)的不定積分。

（二）定積分

1．知識范圍

（1）定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義。

（2）定積分的性質。

（3）定積分的計算：變上限的定積分，牛頓一萊布尼茨（Newton - Leibniz）公式，換元積分法，分部積分法。

（4）廣義積分的概念。

（5）定積分在幾何上的應用：平面圖形的面積、旋轉體的體積、已知平行截面面積的立方體體積，平面曲線的弧長。

2．要求

（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解函數(shù)可積的條件。

（2）掌握定積分的基本性質。

（3）理解變上限的定積分的含義，掌握對變上限定積分求導數(shù)的方法。

（4）熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。

（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

（6）理解廣義積分，根據(jù)定義會求一些簡單的廣義積分。

（7）理解用元素法將實際問題表達成定積分的分析方法。

（8）掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積的計算方法，會求簡單的已知平行截面面積的立方體體積，會求平面曲線的弧長。

四、多元函數(shù)微積分學

（一）多元函數(shù)微分學

1．知識范圍

（1）空間直角坐標系。

（2）多元函數(shù)。

多元函數(shù)的定義、二元函數(shù)的幾何意義、二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念。

（3）偏導數(shù)與全微分

偏導數(shù)、全微分、二階偏導數(shù)

（4）復合函數(shù)的偏導數(shù)

（5）隱函數(shù)的偏導數(shù)

（6）二元函數(shù)的無條件極值與條件極值

 2．要求

（1）了解空間直角坐標系的概念，會求空間兩點間的距離。

（2）了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義、會求二元函數(shù)的表達式與定義域。了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。

（3）理解偏導數(shù)的概念，了解偏導數(shù)的幾何意義，了解全微分概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。

（4）掌握二元函數(shù)的一、二階偏導數(shù)的計算方法。

（5）掌握復合函數(shù)一、二階偏導數(shù)的求法。

（6）會求多元函數(shù)的全微分。

（7）掌握由方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導數(shù)的計算方法。

（8）會求多元函數(shù)的無條件極值，會用拉格朗日數(shù)乘法求多元函數(shù)的條件極值。

（二）二重積分

1．知識范圍

（1）二重積分的概念

二重積分的定義、二重積分的幾何意義

（2）二重積分的性質

（3）二重積分的計算

（4）二重積分的應用

2．要求

（1）了解二重積分的概念與基本性質，理解二重積分的幾何意義。

（2）掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），能夠根據(jù)積分域和被積函數(shù)的特點選擇坐標系和積分次序，能正確地定出二次積分的積分限。

（3）會用二重積分解決簡單的積分問題。

五、無窮級數(shù)

（一）數(shù)項級數(shù)

1．知識范圍

（1）數(shù)項級數(shù)

數(shù)項級數(shù)的概念、級數(shù)的收斂與發(fā)散、級數(shù)的基本性質、級數(shù)收斂的必要條件

（2）正項級數(shù)收斂性的判別法

比較判別法、比值判別法、

（3）任意項級數(shù)

交錯級數(shù)、絕對收斂、條件收斂、萊布尼茨判別法

2．要求

（1）理解級數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和的概念。

（2）掌握級數(shù)的基本性質和級數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級數(shù)和P——級數(shù)的收斂性，掌握正項級數(shù)的比較判別法和比值判別法，了解級數(shù)的根式判別法。

（3）掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及它們之間的關系。

（二）冪級數(shù)

1．知識范圍

（1）冪級數(shù)的概念

收斂半徑、收斂區(qū)間

（2）冪級數(shù)的基本性質

（3）將簡單的初等函數(shù)展開成冪級數(shù)

2．要求

（1）了解冪級數(shù)的概念。

（2）掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的求法。

（3）了解冪級數(shù)的基本性質（和函數(shù)的連續(xù)性，逐項微分和逐項積分）。

（4）掌握幾個常用初等函數(shù)的麥克勞林展開式，并會利用這些展開式將一些簡單函數(shù)間接展開成冪函數(shù)。

六、常微分方程

一階微分方程

1.知識范圍

（1）微分方程的概念

微分方程的定義、階、解、通解、初始條件和特解

（2）可分離變量的微分方程

（3）一階線性微分方程

2.要求

（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解

（2）掌握可分離變量的微分方程的解法。

（3）掌握一階線性微分方程解法。

第三部分：參考教材

1. 《高等數(shù)學》（上、下冊）（第四、五、六、七版）同濟大學數(shù)學教研室編，高等教育出版社

2. 《微積分》  馬軍  許成鋒  主編，北京理工大學出版社

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