江西科技師范大學2020年專升本《高等數學B》考試大綱

Ⅰ.適用專業(yè)：工科各專業(yè)

Ⅱ．總體要求

考生應按本大綱的要求，了解或理解“高等數學”中函數、極限和連續(xù)、一元函數微分學、一元函數積分學、向量代數與空間解析幾何、多元函數微積分學、無窮級數、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯(lián)系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。

本大綱對內容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運算分為“會”、“掌握”和“熟練掌握”三個層次。

Ⅲ．考核內容及要求

一、函數、極限和連續(xù)

（一）函數

（1）理解函數的概念，會求函數的定義域、表達式及函數值；會求分段函數的定義域、函數值；掌握函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性；會判斷所給函數的類別。

（2）了解函數與其反函數之間的關系（定義域、值域、圖象）。

（3）理解和掌握函數的四則運算與復合運算，熟練掌握復合函數的復合過程。

（4）掌握基本初等函數的簡單性質及其圖象；了解初等函數的概念；會建立簡單實際問題的函數關系式。

（二）極限

（1）理解極限的概念；能根據極限概念分析函數的變化趨勢；會求函數在一點處的左極限與右極限；了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。

（2）了解極限的有關性質；掌握極限的四則運算法則。

（3）理解無窮小量、無窮大量的概念；掌握無窮小量的性質及無窮小量與無窮大量的關系；會進行無窮小量階的比較。

（4）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

（三）連續(xù)

（1）理解函數在一點連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷簡單函數（含分段函數）在一點的連續(xù)性，理解函數在一點連續(xù)與極限存在的關系。

（2）會求函數的間斷點，了解函數間斷點的類型。

（3）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，會運用介值定理推證一些簡單命題。

（4）理解初等函數在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限。

二、一元函數微分學

（一）導數與微分

（1）理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。

（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

（3）熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法。

（4）掌握隱函數的求導法、對數求導法；會求由參數方程所確定的函數的導數。

（5）理解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數。

（6）理解函數的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。

（二）中值定理及導數的應用

（1）了解羅爾定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義；會用羅爾定理證明方程根的存在性；會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式。

（2）熟練掌握利用洛必達法則求各種未定型極限的方法。

（3）掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區(qū)間的方法，會利用函數的增減性證明簡單的不等式。

（4）理解函數極值的概念，掌握求函數的極值和最大（?。┲档姆椒?，并且會解簡單的應用問題。

（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。

三、一元函數積分學

（一）不定積分

（1）理解原函數與不定積分概念及其關系，掌握不定積分性質，了解原函數存在定理。

（2）熟練掌握不定積分的基本公式。

（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）。

（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。

（二）定積分

（1）理解定積分的概念與幾何意義；掌握定積分的基本性質。

（2）理解變上限積分的概念，掌握對變上限積分求導數的方法。

（3）掌握牛頓—萊布尼茨公式；掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

（4）理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計算方法。

（5）掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積；會用定積分求沿直線運動時變力所作的功。

四、向量代數與空間解析幾何

（一）向量代數

（1）理解向量的概念，掌握向量的坐標表示法；會求單位向量、方向余弦、向量在坐標軸上的投影。

（2）掌握向量的線性運算、向量的數量積與向量積的計算方法。

（3）掌握二向量平行、垂直的條件。

（二）平面與直線

（1）會求平面的點法式方程、一般式方程；會判定兩平面的垂直、平行。

（2）會求點到平面的距離。

（3）了解直線的一般式方程，會求直線的標準式方程、參數式方程；會判定兩直線平行、垂直。

（4）會判定直線與平面間的關系（垂直、平行、直線在平面上）。

（三）簡單的二次曲面

了解球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形。

五、多元函數微積分

（一）多元函數微分學

（1）了解多元函數的概念、二元函數的幾何意義及二元函數的極值與連續(xù)概念（對計算不作要求）；會求二元函數的定義域。

（2）理解偏導數概念，了解全微分概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。

（3）掌握二元函數的一、二階偏導數計算方法；掌握復合函數一階偏導數的計算方法。

（4）會求二元函數的全微分。

（5）掌握由方程F（x，y，z）=0所確定的隱函數z=z（x，y）的一階偏導數的計算方法。

（6）會求二元函數的無條件極值。

（二）重積分

（1）理解二重積分的概念及其性質。

（2）掌握二重積分在直角坐標系下的計算方法；會在極坐標下計算二重積分。

（3）會用二重積分解決簡單的應用問題（限于空間封閉曲面所圍成的有界區(qū)域的體積、平面薄板質量）。

（4）了解三重積分的概念及其計算方法。

六、無窮級數

（一）數項級數

（1）理解級數收斂、發(fā)散的概念；掌握級數收斂的必要條件；了解級數的基本性質。

（2）掌握正項級數的比值判別法；會用正項級數的比較判別法。

（3）掌握幾何級數、調和級數及P級數的斂散性。

（4）了解級數絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。

（二）冪級數

（1）了解冪級數的概念。

（2）了解冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質（和、差、逐項求導與逐項積分）。

（3）掌握求冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間的方法（不要求討論端點）。

七、常微分方程

（一）一階微分方程

（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

（2）掌握可分離變量微分方程的解法。

（3）掌握一階線性微分方程的解法。

（二）二階線性微分方程

（1）了解二階線性微分方程解的結構。

（2）掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。

（3）會解簡單的二階常系數非齊次線性微分方程。

Ⅳ.試卷結構

試卷總分：150分

考試時間：90分鐘

試卷內容比例：

函數、極限和連續(xù) 約20%

一元函數微分學 約30%

一元函數積分學 約20%

多元函數微積分（含向量代數與空間解析幾何） 約20%

無窮級數、常微分方程 約10%

試卷題型比例：

選擇題 約15%

填空題 約25%

計算題 約40%

應用題 約10%

綜合題 約10%

試題難易比例：

容易題 約45%

中等難度題 約45%

較難題 約10%

Ⅴ.主要參考書：

《高等數學(第2版)》（上、下冊）上海交大數學系編著，上海交通大學出版社。

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