樂山師范學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 專升本專業(yè)綜合考試大綱

• 考試范圍,參考書

考試范圍: 數(shù)學分析, 高等代數(shù),各占50%.

參考書: 華東師大編《數(shù)學分析》，高等教育出版社.   

徐德余主編的《高等代數(shù)》四川大學出版社．

• 題型, 分值比例, 考試時間

選擇題20%,填空題20%,解答題40%,證明題20%.

考試時間120分鐘.

• 數(shù)學分析考試內(nèi)容及要求

實數(shù)集與函數(shù)

1. 內(nèi)容

實數(shù)，數(shù)集，確界原理，函數(shù)概念，具有某些特征的函數(shù)。

2、要求

了解實數(shù)的小數(shù)表示形式，理解實數(shù)的有序性、稠密性與封閉性，實數(shù)集確界原理，函數(shù)的定義及復合函數(shù)、有界函數(shù)、反函數(shù)、單調(diào)函數(shù)和初等函數(shù)的定義，掌握鄰域的概念，實數(shù)絕對值的有關(guān)性質(zhì)，基本初等函數(shù)的定義、性質(zhì)及其圖象。

數(shù)列極限

1. 內(nèi)容

數(shù)列極限的概念，收劍數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列極限存在的條件。

1. 要求

理解數(shù)列發(fā)散、單調(diào)、有界和無窮小數(shù)列等有關(guān)概念和收斂數(shù)列性質(zhì)，掌握數(shù)列極限的 N-e定義及收斂數(shù)列的四則運算定理、迫斂性定理、單調(diào)有界定理和柯西準則。

函數(shù)的極限

1. 內(nèi)容

函數(shù)極限的概念，函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)極限存在的條件，兩個重要極限，無窮小量與 無窮大量，階的比較。

1. 要求

了解函數(shù)極限的幾何意義，理解函數(shù)極限的定義，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)、海涅定理與柯西準則、兩個重要極限、無窮?。ù螅┝考捌潆A的比較。

函數(shù)的連續(xù)性

1. 內(nèi)容

函數(shù)連續(xù)的概念，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性。

1. 要求

了解函數(shù)的間斷點及其種類、初等函數(shù)的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點連續(xù)和在某區(qū)間上一致連續(xù)的概念，掌握連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)、運算性質(zhì)、復合函數(shù)和反函數(shù)的連續(xù)性、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

導數(shù)與微分

1. 內(nèi)容

導數(shù)概念，求導法則，微分，高階導數(shù)與高階微分。

1. 要求

了解導數(shù)的物理意義和導數(shù)、微分的幾何意義，理解導數(shù)、微分的定義和一階微分形式 的不變性，掌握導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)的求導法則、高階導數(shù)與高階微分的計算方法。

微分中值定理及其應用

1. 內(nèi)容

中值定理，幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則，泰勒公式，函數(shù)的單調(diào)性與極值， 函數(shù)的凸性與拐點，函數(shù)作圖，方程的近似解。

1. 要求

了解導函數(shù)的極限定理與導函數(shù)的介值性定理、函數(shù)凸性的概念，理解中值定理及其分 析意義與幾何意義、泰勒定理、函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)以及嚴格單調(diào)的意義和條件，掌握中值定理的證明方法、羅比塔法則及其應用、泰勒公式、函數(shù)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的判別法、極值的判別法。

實數(shù)完備性

1. 內(nèi)容

實數(shù)完備性六個等價定理，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明，上、下極限。

1. 要求

了解數(shù)列上極限、下極限的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系，理解六個基本定理的實質(zhì)意義和相互等價性，掌握區(qū)間套、聚點、開覆蓋等概念、六個基本定理的條件與結(jié)論及證明的基本思想方法和應用。

不定積分

1. 內(nèi)容

不定積分概念與基本積分公式，換元積分法與分部積分法，幾類可化為有理函數(shù)的積分。 2、要求

了解積分與微分的互逆關(guān)系，理解原函數(shù)與不定積分的關(guān)系及其幾何意義，掌握不定積 分的線性運算法則、基本積分公式、換元積分法、分部積分法、有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分、簡單無理函數(shù)的積分。

定積分

1. 內(nèi)容

定積分的概念，定積分條件，微積分學基本定理。

1. 要求

了解可積的必要條件及上和、下和的性質(zhì)，理解并掌握定積分的思想、定積分的性質(zhì)、 微積分學基本定理，掌握換元積分法和分部積分法并能解決計算問題。

定積分應用

1. 內(nèi)容

平面圖形面積計算，已知截面面積求體積，曲線弧長與曲率，重心坐標、平均值、變力作功。  

1. 要求

掌握各種平面圖形面積的計算方法、曲線弧長的各種表達形式及其計算方法、定積分在物理學上的應用，理解并掌握由截面面積函數(shù)求空間立體體積的計算公式的應用、利用微元法計算旋轉(zhuǎn)曲面的面積。

反常積分

1. 內(nèi)容

反常積分概念，無窮積分的性質(zhì)與收斂判別，瑕積分的性質(zhì)與收斂判別。

1. 要求

了解無窮積分、瑕積分的性質(zhì)與收斂性判別法，理解非正常積分的概念，掌握無窮積分與瑕積分的計算方法。

數(shù)項級數(shù)

1. 內(nèi)容

級數(shù)的斂散性，正項級數(shù)，一般項級數(shù)。

1. 要求

理解并掌握級數(shù)、部分和、收斂、發(fā)散的概念，理解級數(shù)的收斂準則及其性質(zhì)，熟練掌握正項級數(shù)斂散性判別法的比較原則、比式、根式判別法，理解交錯級數(shù)的概念，進而掌握其斂散性判別法，弄清絕對收斂的含義并掌握其有關(guān)的性質(zhì)及一般項級數(shù)的斂散性判別法。 

  函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù) 

1、內(nèi)容 

一致收斂性，一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)。

2、要求 

理解并掌握函數(shù)列（或函數(shù)項級數(shù)）及一致收斂的概念和性質(zhì)，掌握函數(shù)項級數(shù)的幾個 重要判別法，并能利用它們?nèi)ミM行判別，掌握一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的極限與和函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性，并能解決實際問題。 

  冪級數(shù) 

1、內(nèi)容 

冪級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)展開。

2、要求 

掌握冪級數(shù)的概念、性質(zhì)、收斂域、一致收斂性，理解并會求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及半徑， 理解和函數(shù)的性質(zhì)，掌握冪級數(shù)的有關(guān)運算，理解并掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開并會計算函數(shù)值。 

  傅里葉級數(shù) 

1、內(nèi)容 

傅里葉級數(shù)，以l2為周期的傅里葉級數(shù)，收斂定理的證明。

 2、要求 

正確理解三角級數(shù)，正交函數(shù)系等概念，掌握傅里葉級數(shù)的定義及收斂定理，理解以p2為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)與其周期延拓函數(shù)的傅里葉級數(shù)的關(guān)系，理解并掌握一個其圖形由有限段光滑弧線構(gòu)成的函數(shù)，都可以用傅里葉級數(shù)表示，掌握并區(qū)別奇、偶函數(shù)的傅里葉展開式，理解并會應用傅里葉級數(shù)的收斂性定理。 

  多元函數(shù)極限與連續(xù) 

1、內(nèi)容 

平面點集與多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的極限，二元函數(shù)的連續(xù)性， 

2、教學目的及要求 

掌握平面點集的有關(guān)概念，并能求出函數(shù)的定義域，繪出其圖形，理解并掌握二元函數(shù) 的極限，能利用累次極限解決問題，搞清重極限與累次極限的關(guān)系，理解二元函數(shù)的連續(xù)性，掌握有界域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 

  多元函數(shù)的微分學 

1.  內(nèi)容

可微性，復合函數(shù)的微分法，方向?qū)?shù)與梯度，泰勒定理與極值。 

2、要求 

理解偏導數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、梯度等概念。熟練掌握偏導數(shù)的計算，特別是求復合函數(shù)偏導數(shù)的運算，會求空間曲線的切線方程，法平面方程；空間曲面的切平面方程，法線方程；掌握泰勒公式的意義和用途，并能寫出簡單二元函數(shù)的泰勒公式或馬克勞林公式；掌握求二元函數(shù)的局部極值和最大（小）值的方法，并能解決一些簡單的應用問題。 

  隱函數(shù)定理及其應用 

1、內(nèi)容 

隱函數(shù)，隱函數(shù)組，幾何應用，條件極值。

 2、要求 

理解隱函數(shù)概念，掌握隱函數(shù)（組）定理及反函數(shù)組定理，要求能運用定理驗證方程（或方程組）確定隱函數(shù)（或隱函數(shù)組），能熟練而準確地求隱函數(shù)（或隱函數(shù)組）與反函數(shù)組的偏導數(shù)，了解隱函數(shù)存在的幾何意義以及坐標變換的一些結(jié)果，會求平面曲線的切線方程和法線方程，空間曲線的切線方程與法平面方程，空間曲面的切平面方程與法線方程，熟練掌握求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，并能把實際中的某些極值問題抽象為數(shù)學中的條件極值問題。 

  含參量積分 

1、內(nèi)容 

參量正常積分，含參量反常積分，歐拉積分。

 2、要求 

理解含參量正常積分的概念，掌握含參量正常積分的連續(xù)性、可積性與可微性，積分順 序的交換并熟練掌握它們的應用，理解含參量反常積分一致收斂的概念，掌握其判別的方法，掌握含參量反常積分的分析性質(zhì)，并能應用其計算積分，了解歐拉積分。 

  曲線積分  

1、內(nèi)容 

第一型曲線積分，第二型曲線積分。

2、要求 

理解并掌握第一型曲線積分的概念、性質(zhì)、計算，理解并掌握第二型曲線積分及其性質(zhì)、 計算方法，了解兩類曲線積分之間的聯(lián)系。 

    重積分 

1. 內(nèi)容

二重積分概念，二重積分的計算，格林公式和曲線積分與路線的無關(guān)性，二重積分的變量變換，三重積分，重積分的應用。 

2、要求 

掌握重積分的概念、可積條件、性質(zhì)，會用累次積分的方法計算二重積分，能夠根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特征進行適當?shù)淖兞刻鎿Q，熟練掌握極坐標替換，一般坐標替換。理解并掌握格林公式及曲線積分與路線的無關(guān)性，并能解決有關(guān)計算問題。會用累次積分的方法計算三重積分。會用柱面坐標、球面坐標與廣義柱、球面坐標變換計算三重積分；會用二重積分計算光滑曲面的面積，用二、三重積分計算物體重心坐標和物體的轉(zhuǎn)動慣量以及平面圖形的面積、立體的體積。 

  曲面積分 

1、內(nèi)容 

第一型曲面積分，第二型曲面積分。 2、要求 

理解并掌握第一型曲面積分的概念、性質(zhì)、計算，理解并掌握曲面?zhèn)鹊母拍?，掌握第二型曲面積分的概念、性質(zhì)及計算方法，了解兩類曲面積分之間的聯(lián)系，理解并掌握高斯公式和斯托克斯公式，并能運用它們解決某些計算問題。 

四、高等代數(shù)考試內(nèi)容及要求 

行列式    

1、內(nèi)容 

排列，n階行列式定義，n階行列式的性質(zhì)，n階行列式的各種計算方法（含展開），克蘭姆法則，拉普拉斯定理，行列式的乘法規(guī)則。 

2、要求 

正確理解n級行列式的定義，熟練掌握它的性質(zhì)和各種計算方法，熟悉幾種特殊的行列式和拉普拉斯定理，會用克蘭姆法則解方程組。 

矩陣   

1、內(nèi)容 

矩陣的定義與運算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣分塊，初等矩陣，n維向量及其線性相關(guān)性，向量組的秩，分塊矩陣的廣義初等變換及其應用。 

2、要求 

理解并掌握矩陣以及n階矩陣的行列式的概念，掌握矩陣的運算規(guī)則，掌握用初等變換求標準型和逆矩陣的幾種求法，掌握矩陣的秩和向量組的秩的關(guān)系，會用分塊法來解決矩陣的運算及秩的關(guān)系問題。 

線性方程組   

1、內(nèi)容 

消元法，線性方程組有解的判別定理，齊次線性方程組，一般線性方程組。 2、要求 

掌握方程組系數(shù)矩陣，增廣矩陣以及它們的秩的關(guān)系，能熟練應用有解判別定理和矩陣的初等變換解方程組，能求方程組的特解、一般解，導出組的基礎(chǔ)解系和方程組的全部解。 

多項式    

1、內(nèi)容 

整數(shù)的一些整除性質(zhì)，一元多項式的定義及運算，多項式的整除性，最大公因式，互素，不可約多項式，因式分解，重因式，多項式函數(shù)，根與一次因式的關(guān)系，復系數(shù)、實系數(shù)多項式的因式分解，有理系數(shù)多項式的可約性及其有理根，有根與可約的關(guān)系。 

2、要求 

正確理解多項式及其相關(guān)概念，它與多項式函數(shù)的異同點。掌握因式分解定理及其在一些常用數(shù)域上的具體體現(xiàn)，正確理解可約與有根的關(guān)系。掌握帶余除法、因式分解定理、復系數(shù)與實系數(shù)的因式分解及有理系數(shù)多項式的有關(guān)結(jié)論． 

  線性空間    

1、內(nèi)容 

映射與代數(shù)運算，線性空間的定義與性質(zhì)，維數(shù)、基與坐標，基變換與坐標變換，線性 子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)。 

2、要求 

正確理解線性空間、維數(shù)、基、坐標等相關(guān)定義，正確理解線性空間中兩種運算，零元、負元的正確含義，會用不同的方法計算向量坐標、過渡矩陣，會利用基的擴充定理證明線性空間的相關(guān)命題，掌握子空間交、和定義及維數(shù)公式，掌握直和的幾個等價命題。 

 線性變換   

1、內(nèi)容 

線性變換的定義與運算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對角矩陣，線性變換的 值域與核，不變子空間。 

2、要求 

正確理解線性變換和它的值域與核的定義和運算法則，正確區(qū)別它與同構(gòu)的異同，能用線性變換在基下矩陣的定義正確理解它與 n階矩陣的一一對應關(guān)系，進而理解同構(gòu)。掌握兩矩陣相似的定義、判別方法和性質(zhì)，會計算特征根、特征向量，進而掌握能對角化的判別方法。 

   歐幾里得空間   

1、內(nèi)容 

歐幾里得空間的定義及其基本性質(zhì)，標準正交基，同構(gòu)，正交變換，子空間的正交補， 對稱矩陣的標準形，向量到子空間的距離，最小二乘法。 

2、 要求 

理解內(nèi)積的概念，由此引入歐氏空間、向量長度、夾角的定義。掌握歐氏空間中標準正 交基的定義，特別是標準正交基的性質(zhì)、作用，掌握正交變換，對稱變換的定義、特征，化對稱矩陣為對角矩陣的方法。 

  二次型   

1、內(nèi)容 

二次型及其矩陣表示，標準形，唯一性，正定二次型。 

2、要求 

正確理解二次型多種不同的定義形式及與對稱矩陣的關(guān)系。會用非退化的線性替換化二次型為標準形、規(guī)范形，熟練掌握正交二次型的幾個重要性質(zhì)。