2020年阿壩師范學院專升本《高等數(shù)學》考試大綱

2020年阿壩師范學院專升本《高等數(shù)學》考試大綱已經(jīng)確定了，如果你是2020年考生，可以根據(jù)大綱內(nèi)容提前復習了。

考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

一、考試科目

高等數(shù)學

二、試卷滿分及考試時間

試卷滿分為 100 分，考試時間為 120 分鐘。

三、答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

四、試卷題型結(jié)構(gòu)

單選題 5 小題，每小題 4 分，共 20 分；

填空題 5 小題，每小題 4 分，共 20 分；

計算題 6 小題，每小題 6 分，共 36 分；

解答題 2 小題，每小題 7 分，共 14 分；

證明題 1 小題，每小題 1 分，共 10 分。

考試范圍

一、函數(shù)、極限、連續(xù)

（一）考試內(nèi)容

1.函數(shù)的概念及表示法

函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性；復合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)；基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；初等函數(shù)；函數(shù)關(guān)系的建立。

2.數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)

函數(shù)的左極限和右極限；無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系；無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較；極限的四則運算；極限存在的兩個準則：單調(diào)有界準則和夾逼準則，兩個重要極限。

3.函數(shù)連續(xù)的概念

函數(shù)間斷點的類型；初等函數(shù)的連續(xù)性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（二）考試要求

1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應用問題的函數(shù)關(guān)系。

2.了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。

3.理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。

4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。

5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系。

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。

7.掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限。

9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質(zhì)。

二、一元函數(shù)微分學

（一）考試內(nèi)容 導數(shù)和微分的概念

導數(shù)的幾何意義和物理意義；函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系；平面曲線的切線和法線；導數(shù)和微分的四則運算；基本初等函數(shù)的導數(shù)；復合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法；高階導數(shù)；一階微分形式的不變性；微分中值定理；洛必達（L’Hospital）法則；函數(shù)單調(diào)性的判別；函數(shù)的極值；函數(shù)圖形的凹凸性、拐點及漸近線；函數(shù)圖形的描繪；函數(shù)的最大值與最小值；弧微分；曲率的概念；曲率圓與曲率半徑。

（二）考試要求

1.理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)與微分的關(guān)系，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

2.掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式．了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。

3.了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)。

4.會求分段函數(shù)的導數(shù)，會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導數(shù)。

5.理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并會用柯西（Cauchy）中值定理。6．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

7.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應用。

8.會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間(a,b)內(nèi)，設函數(shù) f (x) 具有

二階導數(shù)．當 f ￠￠(x) > 0 時， f (x) 的圖形是凹的；當 f ￠￠(x) < 0 時， f (x) 的圖形是 凸的），會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線。

9.了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

三、一元函數(shù)積分學

（一）考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念

不定積分的基本性質(zhì)；基本積分公式；定積分的概念和基本性質(zhì)；定積分中值定理；積分上限的函數(shù)及其導數(shù)；牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式； 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法；有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分；反常（廣義）積分；定積分的應用。

（二）考試要求

1.理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。

2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。

3.會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。

4.理解積分上限的函數(shù)，會求它的導數(shù)，掌握牛頓-萊布尼茨公式。

5.了解反常積分的概念，會計算反常積分。

6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積）及函數(shù)的平均值。

四、向量代數(shù)和空間解析幾何

（一）考試內(nèi)容向量的概念

向量的線性運算；向量的數(shù)量積和向量積；向量的混合積；兩向量垂直、平行的條件；兩向量的夾角；向量的坐標表達式及其運算；單位向量；方向數(shù)與方向余弦；曲面方程和空間曲線方程的概念；平面方程；直線方程；平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件；點到平面和點到直線的距離；球面；柱面；旋轉(zhuǎn)曲面；常用的二次曲面方程及其圖形；空間曲線的參數(shù)方程和一般方程；空間曲線在坐標面上的投影曲線方程。

（二）考試要求

1.理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。

2.掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個向量垂直、平行的條件。

3.理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。

4.掌握平面方程和直線方程及其求法。

5.會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等））解決有關(guān)問題。

6.會求點到直線以及點到平面的距離。

7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念。

8.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

9.了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程．了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求該投影曲線的方程。

五、多元函數(shù)微分學

（二）考試內(nèi)容多元函數(shù)的概念

二元函數(shù)的幾何意義；二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念；有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分；全微分存在的必要條件和充分條件。

多元復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法；二階偏導數(shù)；方向?qū)?shù)和梯度；空間曲線的切線和法平面；曲面的切平面和法線；二元函數(shù)的二階泰勒公式；多元函數(shù)的極值和條件極值；多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應用。

考試要求

1.理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。

2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3.理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

4.理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計算方法。

5.掌握多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法。

6.了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù)。

7.了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

8.了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。

9.理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。

六、多元函數(shù)積分學

（一）考試內(nèi)容

二重積分與三重積分的概念、性質(zhì)、計算和應用兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計算；兩類曲線積分的關(guān)系；格林（Green） 公式；平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件；二元函數(shù)全微分的原函數(shù)；兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計算 兩類曲面積分的關(guān)系；高斯（Gauss）公式；斯托克斯（Stokes）公式；散度、旋度的概念及計算；曲線積分和曲面積分的應用。

（二）考試要求

1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。

2.掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）。

3.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。

4.掌握計算兩類曲線積分的方法。

5.掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)。

6.了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分。

7.了解散度與旋度的概念，并會計算。

8.會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長等）。

七、無窮級數(shù)

（一）考試內(nèi)容

常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念

收斂級數(shù)的和的概念；級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件；幾何級數(shù)與 p 級數(shù)及其收斂性；正項級數(shù)收斂性的判別法；交錯級數(shù)與萊布尼茨定理；任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂；函數(shù)項級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念；冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域；冪級數(shù)的和函數(shù)；冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)；簡單冪級數(shù)的和函數(shù)的求法；初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式；函數(shù)的傅里葉（Fourier）系數(shù)與傅里葉級數(shù)。

（二）考試要求

1.理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

2.掌握幾何級數(shù)與 p 級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

3.掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。

4.掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。

5.了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系。

6.了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

7.理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。

8.了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和。

9.了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。

10.掌握 x e ，sin x ，cos x ，ln(1+ x)及(1 x)a + 的麥克勞林（Maclaurin）展開 式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接轉(zhuǎn)開為冪級數(shù)。

八、常微分方程

（一）考試內(nèi)容

常微分方程的基本概念

變量可分離的微分方程； 齊次微分方程； 一階線性微分方程；伯努利

（Bernoulli）方程；全微分方程；可用簡單的變量代換求解的某些微分方程； 可降階的高階微分方程；線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；二階常系數(shù)齊次線性微分方程；高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程；簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；歐拉（Euler）方程；微分方程的簡單應用。

（二）考試要求

1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2.掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

3.會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。

4 ． 會 用 降 階 法 解 下 列 形 式 的 微 分 方 程 ： ( ) ( ), ( , ) n y = f x y￠￠ = f x y￠ 和 y￠￠ = f (y, y￠)。

5.理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)。

6.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

7.會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。

8.會解歐拉方程。

9.會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

參考教材

同濟大學數(shù)學系. 高等數(shù)學（第 6 版）（上、下冊）. 高等教育出版社，2007.

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